Hasse-Arf teoremi

1. Teorem, sonlu bir Abel genişlemesi
2. L
3. /
4. K
5. {\displaystyle {\displaystyle L/K}}
6. nin üstten numaralandırılmış yüksek dallanma gruplarıyla ilgilidir. Diyelim ki
7. L
8. /
9. K
10. {\displaystyle {\displaystyle L/K}}
11. sonlu bir Galois genişlemesi
12. v
13. K
14. {\displaystyle {\displaystyle v_{K}},}
15. K 'nin
16. rezidü cismi karakteristiği
17. p
18. >
19. {\displaystyle p>0}
20. olan ve
21. ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi
22. rezidü cismi karakteristiği
23. p
24. >
25. {\displaystyle p>0}
26. olan ve
27. ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi
28. olsun. Bu değerlemenin, L'ye biricik bir şekilde genişlemesi olsun ve bu genişlemeye w diyelim
29. L'nin ilişkin birimleştirilmiş değerlemesi ew
30. v
31. L
32. {\displaystyle {\displaystyle v_{L}}}
33. ile
34. L'nin
35. v
36. L
37. {\displaystyle {\displaystyle v_{L}}}
38. altındaki değerleme halkası
39. O
40. {\displaystyle {\mathcal {O}}}
41. ile
42. gösterilsin
43. L
44. /
45. K
46. {\displaystyle {\displaystyle L/K}}
47. 'nin Galois grubu G olsun ve
48. L
49. /
50. K
51. {\displaystyle {\displaystyle L/K}}
52. 'nin herhangi bir s≥−1 için s-inci dallanma grubunu şu şekilde tanımlayalım:
53. Örneğin
54. G
55. 1
56. {\displaystyle G_{-1},}
57. Galois grubu
58. G
59. {\displaystyle G}
60. 'dir. Daha yukarı numaralandırmaya geçmek için, öncelikle ψL/K fonksiyonu tanımlanmalıdır ki bu fonksiyon da aşağıda tanımlanmış ηL/K fonksiyonunun tersidir:
61. Üst numaralandırmalı dallanma grupları, s = ψL/K(t) olacak şekilde Gt(L/K) = Gs(L/K) ile tanımlanır
62. Bu yüksek dallanma grupları Gt(L/K), herhangi gerçel t ≥−1 için tanımlıdır, ancak
63. v
64. L
65. {\displaystyle {\displaystyle v_{L}},}
66. ayrık bir değerleme olduğundan, bu gruplar sürekli olarak değil, ayrık sıçramalarla değişir. Bu nedenle, herhangi bir u > t için Gt(L/K) ≠ Gu(L/K) ise
67. t'nin, {Gt(L/K) t ≥ −1} filtrelemesinde bir sıçrama olduğunu söyleriz. Hasse–Arf Teoremi, bu sıçramaların aritmetik doğası hakkında bilgi verir

Yukarıdaki tanımlar ışığında, teorem, {Gt(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesindeki sıçramaların hepsinin rasyonel tam sayı olduğunu ifade eder.

1. Abel olmayan genişlemeler için sıçramalar tam sayılarda olmak zorunda değildir. Serre, Galois groubunun mertebesi 8 olan
2. Q
3. 8
4. {\displaystyle Q_{8}}
5. of order 8 kuaterniyon grubu olan tamamen dallanmış bir genişlemenin örneğini aşağıdaki gibi vermiştir:
6. G
7. =
8. Q
9. 8
10. {\displaystyle G_{0}=Q_{8}}
11. G
12. 1
13. =
14. Q
15. 8
16. {\displaystyle G_{1}=Q_{8}}
17. G
18. 2
19. =
20. Z
21. /
22. 2
23. Z
24. {\displaystyle G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
25. G
26. 3
27. =
28. Z
29. /
30. 2
31. Z
32. {\displaystyle G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
33. G
34. 4
35. =
36. 1
37. {\displaystyle G_{4}=1}
38. Üst numaralandırma o zaman
39. n
40. 1
41. {\displaystyle n\leq 1}
42. için
43. G
44. n
45. =
46. Q
47. 8
48. {\displaystyle G^{n}=Q_{8}}
49. 1
50. <
51. n
52. 3
53. /
54. 2
55. {\displaystyle 1<n\leq 3/2}
56. için
57. G
58. n
59. =
60. Z
61. /
62. 2
63. Z
64. {\displaystyle G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
65. 3
66. /
67. 2
68. <
69. n
70. {\displaystyle 3/2<n}
71. için
72. G
73. n
74. =
75. 1
76. {\displaystyle G^{n}=1}
77. biçiminde olur. Bu yüzden
78. n
79. =
80. 3
81. /
82. 2
83. {\displaystyle n=3/2}
84. iken, yani, tam sayı olmayan bir değerde sıçrama olduğu görülür