Arf değişmezi

Arf değişmezi, bir kuadratik formun özelliklerini tanımlayan teorik değerdir ve şu şekilde ifade edilir:

f

(

x

1

,

x

2

,

x

3

,

.

.

,

x

n

)

{\textstyle f(x_{1},x_{2},x_{3},..,x_{n})}

kuadratik formu ele alındığında Arf değişmezi, bu formun sınıflandırılmasına yardımcı olmak için bir değişmez değer olarak hesaplanır.

Arf değişmezi, formun indirgenemez [en] parçalarına ve bu parçaların karekökleriyle ilişkisine dayanır. Teorik ifadesiyle, formun iki kuadratik forma ayrıştırılmasını ve bu parçalar üzerindeki bazı karakteristik hesaplamaları içerir. Bu, matematiksel olarak Hasse-Arf teoremiyle de ilişkilidir. Karakteristik olmasının altında yatan sebep ise, kullanılan cisim ve o cismin kendine has özelliklerinden dolayı değişiklik göstermesindendir.

Arf değişmezi, 10 Türk Lirasının da üzerinde bulunduğu gibi genelde,

A

r

f

(

Q

)

:

∑

i

=

1

n

a

i

b

i

{\displaystyle Arf(Q):\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}

 şeklinde tanımlanır.

a

i

,

b

i

{\displaystyle a_{i},b_{i}}

 ise kuadratik formun katsayılarıdır. Eğer bu katsayılar, Sonlu cisimlerde tanımlı ise: Kuadratik form bir

F

p

{\textstyle {\displaystyle \mathbb {F} _{p}}}

(p asal) cisminin üzerinde tanımlıysa,

a

i

,

b

i

{\displaystyle a_{i},b_{i}}

 bu cismin elemanlarıdır ve genelde mod işleminden geçerler.

Bu durum dışında, genelde katsayılar Tam sayıdır.