Kariyeri
Kjær futbola 10 yaşında Fredericia FF takımında başladı. 1983'te kadar bu takımın altyapısında oynadı. 1983'te 18 yaşındayken Vejle takımına transfer oldu. 10 sene boyunca formasını giydiği takımda 225 maça çıktı. Kaleci olmasına rağmen, 2 tane de gol kaydetti. İlk sezonunda Danimarka şampiyonluğu yaşadı. Bu Vejle BK'nın da tarihinde son şampiyonluk oldu. 1991-92 sezonunda sadece 1 maçta forma giyip, birinci kaleciliği kaybetti. 1990'ların sonlarına doğru takımda ekonomik problemlerin yaşanmasının etkisiyle de takımdan ayrılmaya karar verdi.
1993'te Silkeborg IF takımına transfer oldu. 2001 yılına kadar takımın kalesini koruyan Kjær, 291 kez bu takımda forma giydi. 1999'da "Det Gyldne Bur" adlı ülkenin en iyi kalecisi ödülünü kazandı. Buradaki ilk sezonunda Danimarka Ligi'nde bir kez daha şampiyonluk gördü. Son sezonunda ise Danimarka Kupası şampiyonu oldular.
2001-02 sezonunun başında ilk kez yurt dışına çıkarak 36 yaşında Beşiktaş'ye transfer oldu. Beşiktaş'ta oynadığı ilk maçta kalesinde 2 gol gördü ve Beşiktaş, Bursaspor ile 2-2 berabere kaldı. Beşiktaş'ta 6 maç forma giyen Kjær, kalesinde 10 gol görünce takımla sözleşmesi devre arasında feshedildi.
2002'de Vejle'dan teknik direktörü olan Ebbe Skovdahl'ın yönettiği İskoç ekip Aberdeen FC'ye transfer oldu. Bu takımda 46 kez forma giydi. 2003'te futbolu bıraktı.
Futboldan sonra 2008'de eski takımı Silkeborg'da sportif direktörlük yapmaya başladı ancak kısa süre sonra takımın maaş sistemini beğenmemesini gerekçe gösterip istifa etti. Kjær, Danimarka'da TV3 kanalında yorumculuk yapmaktadır.
Millî takım kariyeri
Kjær, Danimarka ümit millî futbol takımında 13 kez forma giydi. İlk maçını 9 Eylül 1986'da Batı Almanya'ya karşı oynadı. Son maçını ise 18 Ekim 1988'de Grönland'a karşı oynadı. ümit millî olarak 1988 U-21 Avrupa Şampiyonası elemelerinde de 6 maçın 5'inde takımın kalesini korudu ve grubun en az gol yiyen ismi oldu. Ancak şampiyonaya katılamadılar.
Kjær, Uzun yıllar Danimarka millî futbol takımına çağrıldı ve yedek kaleci olarak kadroda yer aldı ancak Danimarka'nın efsanevi kalecisi Peter Schmeichel'ın ardından yedek kaldı. Millî takımda ilk kez 25 Nisan 2001'de Schmeichel'ın millî takıma jübile maçında oynadı. Sloenya karşısında 25. dakikada oyuna giren Kjær, Danimarka tarihinde ilk kez millî takımda forma giyen en yaşlı futbolcu oldu. (35 yıl 5 ay 20 gün) Bundan önceki rekor Kjær'den 17 gün genç olan Johannes Gandil tarafından 1908'den beri korunuyordu.
Beşiktaş forması giyerken de 2 kez 2002 FIFA Dünya Kupası eleme maçlarında forma giydi. Bunlardan ilki olan 1-1'lik Norveç maçında 13. dakikada sakatlanan Thomas Sorensen'in yerine oyuna girdi. 4 gün sonra oynanan Bulgaristan maçı Kjær'in ilk ve son kez 90 dakika forma giydiği maç oldu. 27 Mart 2002'de İrlanda ile oynanan hazırlık maçında ikinci yarı forma giydi ve bu maç onun için son millî maç oldu.
1995 Kral Fehd Kupası (Yeni adıyla FIFA Konfederasyonlar Kupası) kadrosunda yer alan Kjær, forma giymese de Danimarka tarihinin ilk ve son kupa şampiyonluğunu gördü. Kjæer ayrıca 1998 FIFA Dünya Kupası, Euro 2000 ve 2002 FIFA Dünya Kupası için Danimarka kadrosunda yer almış ancak bu turnuvalarda forma şansı bulamamıştır.
Kjær 1988-2001 arasında 11 kez resmi olmayan Danimarkalı oyuncular için antrenman niteliğindeki hazırlık maçlarında forma giymiştir.
