İlk yılları
16 Ağustos 1994 tarihinde Höxter, Almanya'da tıpkı Hamit Altıntop, Nuri Şahin ve Hakan Balta gibi göçmen Türk kuaför anne ve montaj işiyle uğraşan babanın ikinci oğlu olarak dünyaya gelen Koray Günter, Futbola 2001 yılında henüz 7 yaşında Höxter takımının altyapısında başladı. 2006 yılında ise Brakel takımına transfer oldu. Burada top tekniği, fiziği ve sağlam duruşuyla dikkat çekti ve menajerler tarafından önerildiği Borussia Dortmund altyapısına geçti. Bu dönemi Koray amatörde oynarken 11 yaşımdan 13 yaşıma kadar takip ettiler. Tek hayalim beni almalarıydı. Teklif geldiğinde havalara uçmuştum. Tek şartları okuldaki derslerime dikkat etmemdi. Zaten okumayı sevdiğim için sorun olmadı. İlk günlerde ailemden uzak olduğum için biraz bunalmıştım. O konuda da çok yardımcı oldular. Altyapıdaki futbolcular için büyük bir ev satın aldılar. Bahçesi vardı, üç katlıydı. Evde annemiz, babamız vardı. Onların çocukları vardı. Kalabalık bir aile gibi düşün. Her şeyimizle onlar ilgileniyordu. 13 yaşımdan 18 yaşıma kadar o evde yaşadım. Sekiz aydan beri de kendi evimde yaşıyorum. ifadeleriyle anlattı. 2008-09 sezonunun son maçında U-17 takımında ilk kez forma giydi. Sonraki iki sezonda U-17 ve U-19 takımlarında oynayıp, 2011-12 sezonunda yaşı itibarıyla U-19 takımıyla devam etti.
Borussia Dortmund
Jürgen Klopp,Borussia Dortmund teknik direktörü.
2008 yılında Mario Götze ve İlkay Gündoğan'ı yetiştiren Dortmund altyapısına adımını atan Koray Günter, geldiği sezon U-15 takımına alındı. U-15 takımında fiziğinin yetersiz olması nedeniyle forma giyemeyen Koray, aslen forvet olmasına rağmen bir maçta defans oyuncusunun sakatlanmasının üstüne kadroya girdi ve defans olarak oynadı. U-16 takımıyla birkaç maça çıktı. Bu takımda fiziği ve tekniğiyle dikkat çeken Günter, U-17 hocası Benjamin Hoffmann'ın dikkatini çekti ve bu takıma alındı. Haziran 2009'da bu takıma alından Günter, 26. hafta oynanan Bayer 04 Leverkusen maçında 90 dakika forma giydi. Ancak o sezon başka dakika şans bulamadı.
2009-10 sezonuna ise U-17 takımıyla devam eden Günter, bu sefer takımın değişilmez oyuncusu oldu ve 80 dakika oynanan maçlarda ilk haftada Wattenschd U-17 takımı karşısında şans buldu ve 80 dakika yani maçın tamamında forma giydi. Koray Günter U-17 takımıyla toplam 16 kez kadrodaydı 15 kez ilk onbirde başladı ve 1 kez oyuna sonradan girdi. Mart 2010'da ise U-19 takımına çağrılan Günter, ilk defa 90 dakika üzerinden oynanan bir maçta 14 Mart 2010'da Peter Hyballa yönetiminde Aalen U-19 takımıyla forma giydi ve maçın tamamında sahada kaldı. Koray U-19 takımıyla toplam 6 kez kadrodaydı, 4 kez ilk onbirde başladı ve 2 kez oyuna sonradan girdi.
2010-11 sezonunda ise hem U-17 hem de U-19 takımında forma giyen ender oyunculardan biri olarak dikkat çeken Koray, ilk resmî maçına U-17 takımıyla 15 Ağustos 2010 günü 1.FC Köln karşısında çıktı. O sezonki ilk golünü ise 3 Kasım günü VfL Bochum maçında attı. U-19 ileyse ilk maçına RW Ahlen karşısında 19 Eylül 2010 günü çıktı. Koray U-17 takımıyla toplam 17 kez kadrodaydı 16 kez ilk onbirde başladı 1 kez oyuna sonradan girdi ve 1 gol attı. U-19 takımıyla ise toplam 9 kez kadrodaydı ve bu maçların tamamına ilk onbirde başladı.
2011-12 sezonunda profesyonel sözleşme imzalayan Günter, 4. lig Regionalliga'da oynayan Borussia Dortmund II takımı ile antrenmanlara çıktı. Bir maçta ilk 18'e alınsa da forma şansı bulamadı. O sene Dortmund'un ikinci takımı lig birincisi olarak 3. Lig'e yükseldi. Koray ise idmanlarına U-19 takımıyla devam etti. O sezon ilk maçına ise 14 Ağustos 2011'de Wuppertal karşısında çıktı. 3. haftada ise RW Ahlen maçında ilk golünü attı. Daha sonra 5. haftada da gol atan Günter, sezonu 21 maç 2 gol, 2 sarı kart ve 1,837 dakikayla tamamladı.
Temmuz 2012'de A takım ile de antrenmanlara başlayan futbolcu 30 numaralı formayı aldı. Daha ikinci takımda forma giymeden, Dortmund ile sezon öncesi kampa katılıp hazırlık maçlarında forma şansı buldu. Ayrıca 18 Ağustos'ta FC Oberneuland ile oynanan kupa maçında kadroya alındı ancak forma şansı bulamadı. Daha sonra ikinci takıma geri dönen futbolcu, 28 Ağustos 2012'de Karlsruher SC ile oynanan 3. Lig maçında 90 dakika forma giyerek kariyerinin ilk resmî maçına çıktı. Bir yandan da Dortmund'un lig ve UEFA Şampiyonlar Ligi maçlarında zaman zaman ilk 18'e girse de forma şansı bul
Galatasaray
Süper Lig'de bulunan ve ara transfer döneminde kadrosunda gençleştirmeye giden Galatasaray, Salih Dursun, Umut Gündoğan, Alex Telles ve Izet Hajrović'in ardından Koray Günter'i de kadrosuna kattı. Koray 28 Ocak 2014'te Florya Metin Oktay Tesisleri'ne gelerek resmî sözleşmeyi imzaladı. Sonraki gün ise oyuncu Liv Hospital'da sağlık kontrolünden geçti. 30 Ocak 2014 günü ise 2,5 milyon euro bedel ile oyuncunun kadroya katıldığı açıklandı. Ayrıca eski kulübü Borussia Dortmund'un yalnızca 2015-2016 sezonunda 7 milyon euro bedel ile geçerli olan geri alma opsiyonuna sahip olduğu da açıklandı. Koray Günter: "Türkiye'nin en büyük takımına geldim. Takımıma en kısa sürede yardım etmek istiyorum. Büyük oyuncularla antrenmanlara çıkacak olmaktan çok sevinçliyim. Benim için çok güzel bir duygu. Umarım en kısa zamanda forma şansı bulurum. Didier Drogba ve Weley Sneijder'i çok uzun zamandır takip ediyorum. Hamit abi ise en beğendiğim Türk oyuncu zaten tanışıyoruz. Topu oyuna sokma özelliğim ve genç yaşımda fiziğimi kulanmam en önemli özelliklerim." ifadelerinde bulundu.
Koray ilk kez 4 Şubat 2014'te Tokatspor maçı kafilesine alınmış, 5 Şubat'ta oynanan maçta ise "28" numaralı formasıyla yedekler arasında yer almıştır. Oyuna sonradan dahil olmuştur. Takımı maçı 3-0 kazanmıştır. Süper Lig'de ise Eskişehirspor karşısında kadroda olan Koray, bu maçta süre bulamasa da takımı 3-0 galip gelmiştir. Daha sonra ise Türkiye Kupası'nda Antalyaspor maçınıda Emre Can Coşkun ile savunmanın ortasında 90 dakika görev yapmıştır. Süper Lig'de ise ilk maçına 8 Mart 2014'te Akhisar Belediyespor maçında çıkmıştır.
Sezonun ilk yarısında genelde lig maçlarında kadroya alınmayan Koray Günter'e, Hamza Hamzaoğlu döneminde Türkiye Kupası karşılaşmalarında şans tanındı. Devre arası hazırlık kampında Semih Kaya'nın sakatlanmasının ardından sezonun ikinci yarısında oynanan lig karşılaşmalarında ilk 11 olarak sahaya çıktı ve 90 dakika forma giydi.
