İlk yılları
1962 yılında doğan Kuntz, futbola 8 yaşında Borussia Neunkirchen takımında başladı. 1981'e kadar bu takımın altyapısında yetişen Kuntz, 1980-1981 sezonunda A takıma yükselen Kuntz, 2. Bundesliga'da 1 maç forma giydi. Sezon sonunda Oberliga'ya düştüler. Kuntz, 2 sezon daha bu takımda futbol oynadı. Kariyerine orta saha olarak başlayan Kuntz, forvette oynatılmaya başlayınca kendini gösterdi.
Bochum
1983'te Kuntz, Bundesliga takımlarından VfL Bochum'a transfer oldu. 1983-84 sezonunda ligden düşmekten son maçlarda kurtuldular. Stefan Kuntz ise sezona fırtına gibi bir giriş yaptı. 13 Ağustos 1983'te ligin ilk maçı olan Kickers Offenbach maçında ilk 11'de sahaya çıkıp, ilk kez Bundesliga'da forma giyen Kuntz, 73. dakikada attığı golle takımına 1-0'lık galibiyet getirdi. İlk 4 hafta, 4 gol kaydetti. Sezonun ikinci yarısında gol kaydedemese de toplamda 32 maçta 8 gol attı.
1984-85 sezonunda Kuntz 34 maçın 34'ünde de forma giydi. Ayrıca ligde 11 gol kaydetti. Bochum'daki ilk hat-trick'ini DFB-Pokal'da TSV Havelse takımına karşı yaptı. 1985-86 sezonunda da Bochum ligde başarılı olmasa da Kuntz, 34 maçın hepsinde yine oynadı ve 22 gol kaydetti. Bu performansı ile Bundesliga'da gol kralı oldu. Bochum'un tarihinde çıkardığı ilk gol kralı olmuş oldu. Borussia Dortmund karşısında alınan 6-1'lik galibiyette sezonun ilk hat-trick'ini yapan Kuntz, sezon sonu şampiyon olan Bayern München karşısında alınan 3-0'lık galibiyette de hat-trick yaptı.
Uerdingen 05
Kuntz, 1986'da Bayer Uerdingen'e transfer oldu. Kuntz, ilk sezonunda Bochum'daki performansını tekrarlayamadı ve 29 maçta 6 gol kaydetti. Ancak UEFA Kupası'nda oynayarak ilk kez Avrupa arenasına çıktı. 6 maçta forma giyen Kuntz, FC Carl Zeiss Jena takımına bir gol attı. Çeyrek finalde Barcelona'ya elendiler. 1987-88 ve 1988-89 sezonlarında on üçer gol kaydetti. Ancak takım ligde ve kupada başarılı sonuçlar alamıyordu.
Kaiserslautern
1989'de Kuntz, 1. FC Kaiserslautern'e transfer olarak uzun yıllar sürecek bir dönemi başlattı. İlk sezon takım için başarılı bir sezon olmasa da Kuntz, ilk 10 maçta 9 gol atarak iyi bir başlangıç yaptı. Sezonu 32 maçta 15 gol kaydederek bitirdi. Sezon içinde takımın en golcü ismi oldu. Sezon sonu SV Werder Bremen'i 3-2 yenerek Almanya Kupası'nı kazandılar. Kuntz, kariyerinin ilk kupasını böylece kazanamış olurken takımını 3-0 öne geçiren golü attı.
1990-91 sezonuna da Kuntz golle başladı. 27 maçta 11 gol atıp, takımının yine en golcüsü olan Kuntz, kariyerinin ilk ve tek Bundesliga şampiyonluğunu yaşadı. UEFA Kupası'nda ise Sampdoria ile oynanan ilk maçta attığı golla takımının maçı 1-0 kazanmasını sağlasa da ikinci maç 2-0 yenilip elendiler. 1991-92 sezonunda da 11 gol atan Kuntz'lu Kaiserslautern ligi 5. bitirdi. Şampiyon Kulüpler Kupası'nda ise FC Barcelona ile eşleşen K'latuern'de Kuntz iki maçta da forma giydi ancak turu geçen taraf deplasman golü avantajıyla Barcelona oldu.
1992-93 sezonunu 26 maçta 6 gol ile durgun geçirdi. Sezonun ortasında uzun bir süre sakatlık nedeniyle forma giyemedi. Böylece K'lautern'de ilk kez takımın en golcü ismi olma başarısını sağlayamadı. 1993-94 sezonunda K'lautern bir puan ile şampiyonluğu kaçırıp ikinci oldu. 25. hafta SC Freiburg ile oynanan maçta sakatlanıp 23. dakikada oyunu terk edip sezon sonuna doğru forma giyememesine rağmen Kuntz da 26 maçta 18 gollük muhteşem bir performans gösterdi. Son iki maçta aldıkları iki galibiyette de gol atan Kuntz, rakipleri Münih'in de puan kaybetmemesi ile şampiyonluk fırsatını kaçırdı. Sezon sonunda Kuntz, Eintracht Frankfurt'lu Anthony Yeboah ile gol krallığını paylaştı. Bu da Kuntz'un ikinci ve son Bundesliga gol krallığı oldu. 1994-95 sezonunda da 28 maçta 14 gol kaydetti.