Kulüp takımları kariyeri
Futbola okul takımında başladıktan sonra Güneşspor'a geçen Aykut, 1958 yılında makine mühendisliği öğrenimi için Almanya'daki Braunschweig Teknik Üniversitesi'ne gitti. Braunschweig'e yerleşen Aykut Ünyazıcı, aynı yıl Eintracht Braunschweig kulübüne katılıp futbolcu lisansı çıkarttı. İlk sezonunda 13 maçta forma giyip 2 gol kaydeden Aykut, Almanya'daki en üst düzey bölgesel liglerin birleşmesiyle 1963–1964 sezonunda başlayan Bundesliga'da oynayan ilk Türk futbolcu oldu. Son sezonunda sadece 1 maça çıkıp 1965'te askerlik yapmak için orada amacıyla Türkiye'ye geri dönen Aykut, askerliğini yaptıktan sonra 2 sezon MKE Ankaragücü'nde oynadıktan sonra aktif futbol kariyerini sona erdirdi.
Aykut Ünyazıcı'nın, lig başlamadan önce 1959 yılında Aşağı Saksonya Karması'nın, Pele'li Santos ile oynadığı özel maçta forma giydiği de kayıtlar arasında bulunuyor.